Wstęp do algebry i teorii liczb

2021/2022 , Semestr zimowy

(wykład i ćwiczenia)

Najważniejsze pliki:

Terminy kolokwiów: 29.11.2021, 31.01.2022 podczas wykładu

Ćwiczenia:

4.10.21, lista zadań nr 1, zadanie domowe:
- grupa 11 (godz. 11:45): zadanie 1b z Podzielności oraz 1b z Indukcji z listy zadań,
- grupa 12 (godz. 13:45): zadanie 1b z Podzielności oraz 1c z Indukcji z listy zadań.
11.10.21, lista zadań nr 2, zadanie domowe:
- grupa 11 (godz. 11:45): zadanie 2c z indukcji oraz 4b z NWD, NWW,
- grupa 12 (godz. 13:45): zadanie 2c z indukcji oraz 4c z NWD, NWW,
18.10.21, zadanie domowe:
- grupa 11 (godz. 11:45): zadanie 10c) z NWD, NWW; rozwiąż w liczbach całkowitych równanie 36x-48y = 6,
- grupa 12 (godz. 13:45): zadanie 10c) z NWD, NWW; rozwiąż w liczbach całkowitych równanie 48x-72y = 12.
8.11.21, lista zadań nr 3, podwójne zadanie domowe dla obu grup:
- Rozwiąż równanie 21x – 15y = 12 w liczbach całkowitych x, y.
- Rozwiąż równanie 3x + 5y + 7z = 1 w liczbach całkowitych x, y, z.
- W przerwie między rozwiązywaniem zadań dowiedz się, czym jest spirala Ulama oraz pobaw się nią (zmień dane i kliknij GENERATE). Obrazek, który otrzymasz jest kolejnym niewyjaśnionym problemem, związanym z liczbami pierwszymi – nie do końca wiadomo, czemu wygląda, tak jak wygląda. Nie będę tego sprawdzał w żaden sposób 🙂
- Wykaż, że jeżeli a⋅b jest sześcianem liczby naturalnej oraz NWD(a, b) = 1, to a oraz b są sześcianami liczb naturalnych.
- Ile dzielników naturalnych ma liczba n = 3⁵ ⋅ 7¹¹ ⋅ 17¹⁰⁰ ⋅ 6²⁰? Wymień przykład dzielnika n, który nie jest potęgą liczby pierwszej i jest mniejszy od n.
  (Uwaga: zapisz najpierw n jako iloczyn potęg różnych liczb pierwszych)
22.11.21, lista zadań nr 4, zadanie domowe:
- grupa 11 (godz. 11:45): zadanie 2de/KONGRUENCJE, oblicz odwrotność 7 mod 9
- grupa 12 (godz. 13:45): zadanie 2fe/KONGRUENCJE, oblicz odwrotność 7 mod 11
29.11.21, lista zadań nr 4 (c.d.), zadanie domowe:
- grupa 11 (godz. 11:45):
  - zadanie 10b/KONGRUENCJE,
  - znajdź rozwiązanie kongruencji 16x = 12 (mod 28)
6.12.21, lista zadań nr 5, zadanie domowe:
- zad. 4c)/Chińskie Twierdzenie o Resztach
  (Wskazówka: należy rozwiązać dwa układy kongruencji:
  x = -1 mod 3, x = 1 mod 5
  oraz
  x = 1 mod 3, x = -1 mod 5)
- znajdź rozwiązanie układu kongruencji:
  x = 1 (mod 3)
  x = 2 (mod 4)
  x = 3 (mod 5)
13.12.21, lista zadań nr 6, lista zadań nr 7, zadanie domowe:
- grupa 11:
  - zamień liczbę n = (123)₈ na liczbę zapisaną w systemie dziesiętnym,
  - zamień liczbę n = 135 na liczbę zapisaną w systemie przy podstawie 8,
  - oblicz 2182 mod 17
- grupa 12:
  - zamień liczbę n = (231)₈ na liczbę zapisaną w systemie dziesiętnym,
  - zamień liczbę n = 183 na liczbę zapisaną w systemie przy podstawie 8,
  - czy liczba 8555554854 dzieli się przez 77? Użyj cech podzielności przez 7 i przez 11.
- 20.12.21, lista zadań nr 7, zadanie domowe:
  - grupa 11:
    - oblicz 21203 mod 909
    - oblicz 3100 mod 27
  - grupa 12:
    - oblicz 5100 mod 125
    - oblicz 2243 mod 225
3.01.21, lista zadań nr 8, zadanie domowe (link do PDFa)
10.01.21, zadanie domowe:
- pooglądaj obrazki dt. butelki Kleina na anglojęzycznej wikipedii (link) 🙂
- czy zbiór (2, ∞) wraz z działaniem x ⊙ y := xy – 2x – 2y + 6 jest grupą?
- zad. 2/(l)/GRUPY: czy zbiór G = ℚ(√ 2) = {a + b√ 2 : a, b ∈ ℚ} z działaniem dodawania jest grupą?
17.01.21, lista zadań nr 9, zadanie domowe – link do PDFa
24.01.21, lista zadań nr 10, zadanie domowe – link do PDFa